Е. Алпысов 1971 жылы Солтүстік Қазақстан облысында дүниеге келген. Абай атындағы Алматы мемлекеттік университетін, І. Жансүгіров атындағы Жетісу мемлекеттік университетін тәмамдаған.
Еңбек жолын 1993 жылы бастаған. Әр жылдары коммерциялық секторда қызмет еткен.
2004–2008 жылдары — Алматы облысының Ақсу ауданы әкімінің орынбасары. 2008–2012 жылдары — Талдықорған қаласы әкімінің орынбасары. 2012–2015 жылдары — Талдықорған қаласының әкімі лауазымын атқарған.
2015 жылдан 2017 жыл аралығында — Президент Әкімшілігінің Мемлекеттік бақылау және ұйымдастырушылық-аумақтық жұмыс бөлімінің мемлекеттік инспекторы.
2017 жылдан бастап қазірге дейін Президент Әкімшілігінің Мемлекеттік бақылау және ұйымдастырушылық-аумақтық жұмыс бөлімі меңгерушісінің орынбасары қызметін атқарды.