Геометрияны ескірген пайымдардан қашан арылтамыз?

Оның себебін кей ғалымдардың «математикада күнде өзгеріп жатқан ешнәрсе жоқ» деген біржақты па­йымдарынан іздеу керек сияқты. Олай дейтініміз, көпке белгілі матема­тик­тердің бірі оқырманның мектеп реформалары туралы сұра­ғына «Менің ойымша, реформаны тоқтату керек. Ғалымдар жұмысын істеуі керек, мұғалімдер сабағын беруі керек. Кеңес дәуіріндегі білім бағдарламасымен сабақ оқыту керек. Гуманитарлық сала секілді емес, математика өзгермейді. Миллион жыл бұрын қалай болса, мил­лион жылдан кейін де солай болады. Ол өзгермейді, онда жаңалық ашу жоқ. Ол мүмкін емес. Пифагор тео­ремасы 2000 жыл бұрын қалай болса, 2000 жылдан кейін де солай болып қала береді», деп жауап беріпті. Сонда қалай, математика бір орнында тоқырап тұрып қалған, жаңармайтын, дамып жетілмейтін өлі ғылым болғаны ма?..

Осындай пікірлерді арқаланғаны болар, геометрия оқулықтарының кейбір авторлары «Оқулықта баяндалатын білім мазмұны ғылымның соңғы деңгейімен сай келуі дидак­ти­каның басты талаптарының бірі делінеді. Мұндай дидактикалық талап­тың болуы мүмкін емес», деп жүр. Осыған қарағанда, оқулыққа ғылымда әйтеуір бір кездері қол­да­нылған, қазір мәні түбірімен өзгерген тұжырымдарды қайталап жаза бергеніміз дұрыс болғаны ма? Оқулық авторларының осы пайымы шынымен орынды десек, бір кездегі Птолемейдің Әлемнің кіндігі Жер дегенін астрономия оқулығына неге қазір де сол қалпында жаза бермейміз? Сол сияқты, баяғы Демокриттің атом одан әрі бөлінбейді дегенін физика оқулығына жазып қойсақ, күлкілі болмай ма? Ал қазіргі геометрия оқулықтарында осындай бір-біріне үйлеспейтін тұжырымдар толып жатыр.

Орыстың педагог-математигі Н.Виленкин «Жиындар туралы әңгімелер» атты еңбегінде «XVII және XVIII ғасырларда өмір сүрген Ньютонның, Лейбництің, Эйлердің, Лагранждың және басқа ұлы ға­лым­дар­дың еңбектеріне негізделген диф­ференциалдық және интегралдық есептеулерді пайдаланып, артиллерия снарядының траекториясын есептеуден бастап, планеталар мен кометалардың қозғалыстарын алдын ала болжауға дейінгі әртүрлі есептерді шешу мүмкін болды. Бірақ бұл тамаша нәтижелерге жетуге себепші болған негізгі ұғымдардың анықтамалары қатаң емес еді. ХIX ғасырдың математиктері сол уақытқа дейінгі қол­да­нылып келген ұғымдарды қатты сынға алып, математи­каны қатаң анықтамаларға негіздеп қайта құруға кірісті. Көрнекілікке сүйену деген қалып, оның орнына қатаң логика талап етілді», дейді. Бұл өте құптарлық бастама болғанымен, сол кездегі кемшіліктердің көпшілігі әлі де түзетіле қойған жоқ. Мұны ғалымдардың біліксіздігінен демесек те, олардың ұғымға, оның термині мен анықтамаларына жеткілікті көңіл бөлмеуінен деуімізге тура келеді. Осыдан барып ғылым консервативтік орта сияқты болып көрінеді. 

XIX ғасырдың 70-жылдарында неміс математигі Георг Кантор­дың математикаға шексіз жиындар теориясын енгізуінен кейін математикалық ұғымдардың анық­та­ма­лары осы теорияға негізделіп қайта тұжырымдала бастады, оның қатар­ында геометриялық ұғымдар да болды. Дегенмен, біздің авторлардың көпшілік түсіндірулері бұрынғы қалыпта қалып отыр. Оны олардың «Түзудің бойынан бір нүкте белгі­лейік. Нүкте түзуді екі бөлікке бөледі. Әр бөлікті жарты түзу немесе сәуле деп атайды» дегендерінен-ақ аңғара аламыз. 

Бұрынырақта әр фигураны өз алдына бөлек дүние деп қарастырып келгеніміз рас. Математикаға жиындар теориясы енгеннен кейін барлық фигура нүктелердің жиыны деп түсінілетін болды. Олай болса алдымен түзудің бойынан бір нүкте алғанда, түзу бір жерінен қиып түсірген керілген жіп сияқты екі бөлікке бөліне салмайды, сол нүктенің өзін қосқанда үш бөлікке бөлінеді. Екіншіден, сол нүктеден өзге бөліктердің ешқайсысы «сәуле» де бола алмайды, олар – «ашық сәулелер». Ол бөліктер сәуле болуы үшін олардың әрқайсысы қарастырып отырған нүктемен бірігуі қажет. Яғни, «сәуле дегеніміз – түзудің бір нүктесі мен оның бір жағындағы бөлігінің бірігуі».

Қазір қолданып жүрген оқу­лық­тардың саны оннан асады, оның үстіне көпшілігін авторлар топтасып жазып жүр. Сондықтан барлығын бірдей түстеп-түгендеп жатпастан, орын алып жүрген жалпы кемшіліктердің көпбұрыштарға қатыстыларын ғана сөз етпекшіміз.

Қай ғылымда болсын алдымен ондағы ұғымдардың мән-мағынасын дәл ашып алмай, олардың арасындағы байланыстар туралы заңдылықтарды айқындау да, меңгеру де оңай болмайды. Турасын айтқанда, үшбұрыш ұғымынсыз геометрия ғылымы жоқ десек те болады. Ал сол үшбұрыш ұғымы, мектептерімізде өткен ғасырдың сексенінші жылдарының басынан кешеге дейін қолданылып келген, академик А.Погореловтың оқулығында «Үшбұрыш деп бір түзуде жатпайтын үш нүктеден және осы нүктелерді қос-қостан қосатын үш кесіндіден тұратын фигураны айтады» деп анықталған болатын. Ал біз мұндай «үш кесіндіден тұратын» үшбұрыштың болмайтынын айтсақ, үшбұрышқа погореловше анықтама беріп жүрген кейбір авторлар «…оқулықта келтірілген үшбұрыш анық­тамасы Ресейде (патшалық, содан кейін кеңестік) қолданылған оқу­лық­тарда 3 ғасыр бойы өзгермей келе жатқан анықтамадан ауытқыған жоқ» деп әлі де қателіктерін «түсінгілері» келмейді. 7-сыныпқа жаңартылған бағдарламамен оқулық жазғандар да ресейліктердің пайымына ұйып алып, «Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте белгілеп, оларды кесінділермен қосамыз. Шыққан геометриялық фигураны үшбұрыш деп атаймыз» деп солардың сарынынан «ауытқығылары» жоқ. Турасын айтсақ, мұның бәрі үшбұрышқа берілген қатаң логикалық анықтамаға жатпайды, олар үшбұрыштың жазықтықтағы бейнесін сөзбен суреттеу ғана.

Ғылымдағы ұғымдар біріне-бірі қарама-қайшы келмей, үйлесімді болуы шарт. Ал оқулық жазушы ғалымдар үшбұрышты «үш кесіндіден тұрады» деп түсіндіреді де, артынша оның ауданын «таба салады». Біз олардың «үш кесіндінің» ауданын қалай тауып жүргенін түсіне алмай-ақ қойдық. Қандай да бір фигураның ауданы болуы үшін ол жазықтықтың бөлігі болуы керек емес пе? Осылардың әсері ме, таяуда әлемге белгілі бола бастаған жас математиктің баяндама жасап тұрып «шеңбердің ауданы» дегенін де естідік. 

Оқулық авторларының көпшілігі ел көптен бері қолданып жүрген «Тұйықталған үш буынды сынық пен жазықтықтың осы сынықпен шектелген бөлігінің бірігуі үшбұрыш деп аталады», «Жай тұйықталған төрт буынды сынық пен жазықтықтың осы сынықпен шектелген бөлігінің бірігуі төртбұрыш деп аталады», «Жай тұйықталған сынық пен жазықтықтың осы сынықпен шектелген бөлігінің бірігуі көпбұрыш деп аталады» деген анықтамаларды «қабылдай алмай» жүр. Оның бірнеше себебі бар. 

Оның бір себебін кейбір автор­лар­дың «Жоғарыда келтірілген екі анықтамада да «бірігу» ұғымы қолданылған. Жиындар теориясының негізгі ұғымдарының бірі болып табылатын бұл ұғым мектеп геометриясы оқулықтарында кейінгі 36 жыл бойы қолданылмайды», дегенінен де анық аңғаруға болады. Бірақ авторлардың бұлай деуіне қандай негіз барын түсіне алмадық. Өйткені геометрия ғылымынан бірігу ұғымын шығарып тастау туралы шешім шыққанын естімеппіз. Жиындардың қиылысуы және бірігуі ұғымдары бұрындары 6-сыныптан бастап оқытылып, келесі сыныптарда дамытылып жүрсе, жаңартылған бағдарлама енгізілген соңғы жылдары 5-сыныптан бастап оқытып жүрміз.

Шетелдік профессорлардың «Көпбұрыш – жазықтықта жатқан тұйықталған сынық» деген анық­та­малары біздің авторлардың көп­бұрыш «кесінділерден тұратын» фигура дегенімен мазмұндас. Мұның өрес­кел қате екенін жоғарыда айтқан­быз. Оның үстіне бұл жерде де ең болмағанда «тұйықталған сынық» ұғымының орнына «жай тұйықталған сынық» сөзі қолданылуы керек болатын. 

АҚШ-тың оқулық жазушылары трапецияға анықтама бергенде оның ең мәнді белгілерін толық қарастырмаған. Яғни трапецияның екі қабырғасы параллель емес, екі қабырғасы ғана параллель болатынын «естен шығарып» алған. Соның салдарынан олар параллелограмды да трапеция деп шатасады. Бұл – ешбір қисыны кел­мей­тін «ертегі». Өйткені дөңес көпбұрыштардың дихотомиялық жіктеуін жасасаңыздар, параллелограмм мен трапецияның бір-біріне тек те, түр де бола алмайтын фигуралар екенін көресіздер. Олардың екеуінің де ең жақын тегі – параллель қабырғалары бар төртбұрыштар. 

Осыған қарамастан, біздің автор­лар­дың кейбірі шетелдіктерге еліктеп «Қарама-қарсы екі қа­быр­ғасы параллель болып келген төрт­бұрыш­ты трапеция деп атайды» деген анықтама тұжырымдап, онымен де тұрмай «Жоғарыда жазылған анықтама бо­йынша параллелограмм, тік төртбұрыш, ромб және квадрат трапецияның дербес түрлері болатынын көреміз», деп шындықтан ауытқитыны бар. Оған орыс ғалымы Н.Бескиннің параллелограмдар мен «параллелограмм емес трапецияларды» трапецияның түрлері деген жаңылыс жіктеуі де әсер еткен болуы керек.

3-4 мың жыл бұрынғы египет­тік­тер­дің еңбектерінде «тік бұрышты трапеция», «тең бүйірлі трапеция» терминдері кездеседі. Қазіргі біздің оқулықтар да трапецияның осы екі түрін таныстырумен шектелуде. Соған қарағанда, оқулық авторлары трапецияның бұлардан басқа «сүйір бұрышты трапеция» және «до­ғал бұрышты трапеция» сияқты түр­ле­рінің болатынынан, оның басқа емес, қазақ мектебінде ширек ғасыр бұрын анықталғанынан хабарсыз сияқты. Ғылымдағы ұғымның қай­сы­сы болсын жарым-жартылай емес, толық көлемде қарастырылуы қажет. Логикада бір мәселе туралы қате тұжырым не сол мәселені толық біл­ме­гендіктен, не әдейі жасалады дейді. Оқулықтардағы қателер әдейі жазылып жүрген жоқ шығар…

Біздің жыл санауымыздан бұрын өмір сүрген Евклидтің параллелограмдардан басқа төртбұрыштардың бәрі трапеция деген жаңылыс пайы­мын негізге алып, біраз авторлар оқулықтарында дөңес төрт­бұрыш­тарды трапеция мен параллелограмдардан ғана тұрады деп жіктеп жүр. Бұл да өрескел қателік. Параллель қабырғалары жоқ дөңес төртбұрыштарды ешбір себепсіз санаттан шығара салу ұғымды түрлерге жіктеудің толымдылық ережесінің бұзылуы болып табылады.

Мұндай кемшіліктерді тізе берсек, бір кітапқа жүк болатыны анық. Сондықтан геометрияны келешек ұрпаққа қатесіз оқытамыз десек, ондағы ұғымдардың анықталуының жай-күйін қандай да бір басқосуда талқылап, оларды бір жүйеге келтіріп алуымыз керек сияқты. Олай болмай, қазіргідей әркім өз білгенін жазып оқулық шығара беретін болса, геометрия жақын арада қатеден арыла қояды деу қиын.

Қалмырза ІЗТІЛЕУҰЛЫ,

Білім беру ісінің үздігі

ШЫМКЕНТ