Пифагор және педагог

Ол бізге математиканы дұрыс меңгеру математикалық ұғым­дар­дың мән-мазмұнын игеруден басталатынын айтатын. Біз мектеп бітіргелі отырған бір оқу жылының өзінде-ақ геометрия оқулығындағы мәні дұрыс ашылмай жүрген кейбір ұғымдарды көр­сетіп, дұрыс анықтауды үй­рет­ті. Сондай-ақ теориялық мә­­се­лелерді талқылау, есептер шы­ғару кезінде оқушылардан жеке пікірін, шешімін айтуды та­лап етті.

Ежелгі мысырлықтардың папирустарында трапецияның «тік бұрышты трапеция» және «тең бүйірлі трапеция» деген түрлері қарас­тырылса, бүгінде де мектеп­те осы екі түрі оқытылып жүр. Ал ұстазымыз бұл түсінікті өзгер­тіп, трапецияның төрт түрі болатынын анықтағанына 27 жыл болды. Ол әркім өз білгенінше түсіндіріп жүрген, әр мағыналы тра­пеция анықтамаларын түзе­тіп, логикалық қатаң анық­та­маға айналдырды. Бұдан соң тра­пецияның осы кезге дейін ар­найы атауы табылмай келген түрінің «сүйір бұрышты трапеция» екенін анықтады. Сонымен қатар төртбұрыштардың іші­нен адам баласының трапеция ретінде тани алмай келген түрін тауып, оны «доғал бұ­рыш­ты трапеция» деп атады. Сөй­тіп ең ежелгі ғылым саналатын геометрияға екі жаңа ұғым қосты.

Мектепте трапецияны оқыту кезінде қол жеткізген осы тәжіри­бесін әртүрлі матема­тикалық салалық басылымдарда жазып, таныстырғанына да ширек ғасыр толды. Осы жаңа ұғымдарды мектепте қолданудың тиімділік­терін Шымкентте өткен «Функ­цио­налдық сауаттылық – сапалы білім берудің кепілі» атты рес­публикалық ғылыми-прак­ти­калық конференцияда баяндады. Мектеп бағдарламасында қарастырылатын бұл жаңалықты еліміздің бұрынғы Білім және ғылым министрлігіне де таныстырды. Бірақ өкініштісі, оқулық авторларының ізден­бей, мыңдаған жыл бұрын қалып­тасқан ұғымдарды ғана көшіре беруі және еліміздің оқыту сала­сын­дағы салғырттықтың се­бе­бі­нен, қазақ мектебінде анық­талған бұл жаңа ұғымдар мек­теп оқулықтарына осы кезге дейін енбей келеді.

Қ.Ізтілеуұлы трапеция ұғы­мының дәл мәнін ашып, түр­ле­рін анықтау барысында тра­пе­цияның бұрын ғылымға бел­гісіз болып келген екі қасие­тін анықтап, оның қатаң мате­ма­ти­калық дәлелдеуін келтірді. Ол заңдылықтар еліміздің тәуел­сіз­діктің алғашқы жылдары (1995 жылы) табылғандықтан, өзі анықтаған теореманың бірін «Тә­уелсіздік теоремасы» деп ата­ды. Тәуелсіздік теоремасымен тұжырымдалған қасиетті пайдаланып, трапецияның ауданын есептейтін екі жаңа формула қорытып шығарды. Ол аталған зерттеулерді арнайы ғылыми атақ алу үшін орындаған жоқ. Мұның бәрі геометрияны шәкірттеріне оқулықтағыдан кең көлемде үйрету мақсатынан туындады.

Әр сабақты осындай ізде­ніс­пен өте жүріп, ол соңғы жылдары атақты Пифагордың геомет­рия­лық ілімдерін жетілдірді. Мектепте оқыған әрбір кісіге «Пи­фагор теоремасының» маз­мұ­ны есінде болмаса да, аты таныс болуы керек. Осы теоре­маны қанағаттандыратын ал­ғаш­­қ­ы шешімді мысырлықтар осыдан 4-5 мың жыл бұрын тап­қан болатын. Дегенмен оны шешетін формуланы табу бұдан кейінгі бірнеше мың жыл бойы ешкімнің қолынан келмеді. Ол теореманы алғаш дәлелдеген де, Пифагор теңдеуін шешетін алғашқы формуланы тапқан да ежелгі грек математигі Пифагор (б.д.д. 580-500) болды.

Пифагор теңдеуінің шешім­дерін, яғни пифагор сандарын табатын бұдан өзге формулаларды Платонның (б.д.д. 427-347), Евклидтің (б.д.д. 330-275), Месснердің, Гельфондтың (1908-1968) тапқаны математиктерге белгілі. Менің ұстазым өзі оқытып жүрген шәкірттерімен бірге іздене жүріп, Пифагор теңдеуін шешетін жаңа формула­ла­рды қорытып шығарды.

Жоғарыда аталған ғалым­дар­дың формулаларының әрқайсы­­сының өзіндік ерекшеліктері бар екені белгілі. Қазіргі кезде солардың ішіндегі Евклид фор­муласының мүмкіндігі басқа­лардан жоғары бағаланып жүр. Оны математикалық энцик­ло­пе­диядағы Евклид формуласымен Пифагор теңдеуінің барлық шешімі, яғни барлық пифагор сандары табылады деген тұ­жы­рымнан байқауға болады (Ма­те­матическая энциклопедия. – Мәскеу 1984).

Ал Қ.Ізтілеуұлы өзінің жаңа фор­мулаларын тапқалы бері эн­циклопедиядағы бұл тұжы­рым­ның жаңылыс жасалғанын айтып жүр. Оны Пифагор теңдеуінің Евклид формуласымен де табыл­май­тын шешімдерін өз фор­муласымен тауып көрсетуі ар­қылы дәлелдеуде. Оның бұл жа­ңашылдық жұмысын талқы­лау­дан өткізген Оңтүстік Қазақ­с­тан мемлекеттік педагогикалық университетінің ғалымдары Ізтілеу­­ұлының қорытып шығар­ған фор­муласын Пифагор тең­де­уін шешетін жалпы формула деп ба­ғалады.

Тағы бір маңызды мәселені айтайық. Пифагордан Гель­фонд­қа дейінгі ғалымдардың фор­мулалары пифагор сандарын табудан басқа мақсаттарда қол­данылып жүрген жоқ. Ал Ізтілеу­ұлының формулаларын мек­тепте шығарылып жүр­ген геометриялық есептерден бас­­тап, жоғары оқу орнына тү­су­ші талапкерлерге бері­ліп жүрген, тіпті мате­мати­ка­лық олимпиадаларға ұсы­ныл­ған кейбір есептерді ше­шу­де тиім­ді қолдануға болады. Яғни оның жаңа формула­ла­рын қол­дан­­ғанда есептер бұ­рын­ғы­дан әлде­қайда қысқа жол­мен шы­ғарылатынын көріп жүр­міз.

Бәріміздің де тікбұрышты үш­бұрыштарды шешуде Пи­фагор теоремасынан артық дүние жоқтай көретініміз рас. Өйткені Пифагор теоремасымен оның екі қабырғасының белгілі мәні бо­йынша ­үшінші қабырғасының ұзын­дығы табылатын. Ал Ізтілеу­­­ұлы­ның формулаларымен пифагор үшбұрышының бір катеті белгілі болса, қалған екі қабырғасын табуға болады. Ол осы зерттеуін жалғастыра отырып, кейбір гипотенузасы белгі пифагор үшбұрышының екі катетін есептейтін формулаларды да тапты.

Шығармашыл ұстаз осы жұ­мы­сын 2021 жылғы 25-26 қара­шада Алматыдағы Абай атын­дағы ҰПУ-де өткен «Жа­ңар­тыл­ған білім беру мазмұны жағ­­дайында мектеп пен жоғары оқу орындарында математика мен физиканы оқытудың өзекті мә­селелері» атты халықаралық ғылыми-практикалық конференцияда оқыды. Оның осы жерде пифагор үшбұрышының бір катетінің мәні бойынша оның ауданын табуы, тіктөрт­бұ­рыш­тың диагоналының ұзын­ды­ғы бо­йынша оның периметрін та­буы, қабырғалары бүтін сандар болып келген тең бүйірлі тра­пе­цияның биіктігінің мәнімен ғана оның диагоналын, ауданын, барлық қабырғалары мен барлық бұрыштарын тауып көрсетуі кон­ференцияға тікелей және онлайн қатысқан тыңдармандарды тәнті етті.

Академик Асқар Жұмаділ­даев «Ұлттық намыс, ұлт­тық рух деген сөз менің ойымша бы­лай болуы керек. Егер қазақ бір мықты теорема дәлелдесе, егер қазақ бір мықты заң ашса, міне­кей, сонда ұлттың аты шыға­ды», дейді. Егер Оқу-ағарту министрлігі Қ.Ізтілеуұлының ширек ғасыр бұрын тапқан мек­тептің оқу бағдарламасына қатыс­ты осы жаңалықтарын геометрия оқулықтарына енгізуді ұйымдастыра алса, онда ол жалпы геометрия ғылымына қазақ мұғалімінің қосқан үлесі болып қалары сөзсіз.

Әзімхан ӘБЖАПБАРОВ,

М.Әуезов атындағы Оңтүстік Қазақстан университеті

математика кафедрасының доценті,

физика-математика ғылымдарының кандидаты